3.39 \(\int \frac{\text{csch}^3(c+d x)}{(a+b \tanh ^2(c+d x))^2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=141 \[ -\frac{b \text{sech}(c+d x)}{a^2 d \left (a-b \text{sech}^2(c+d x)+b\right )}+\frac{(a+4 b) \tanh ^{-1}(\cosh (c+d x))}{2 a^3 d}-\frac{\sqrt{b} (3 a+4 b) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \text{sech}(c+d x)}{\sqrt{a+b}}\right )}{2 a^3 d \sqrt{a+b}}-\frac{\coth (c+d x) \text{csch}(c+d x)}{2 a d \left (a-b \text{sech}^2(c+d x)+b\right )} \]

[Out]

((a + 4*b)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*a^3*d) - (Sqrt[b]*(3*a + 4*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sech[c + d*x])/Sqrt[a + b
]])/(2*a^3*Sqrt[a + b]*d) - (Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*a*d*(a + b - b*Sech[c + d*x]^2)) - (b*Sech[c + d*
x])/(a^2*d*(a + b - b*Sech[c + d*x]^2))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.209026, antiderivative size = 141, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 6, integrand size = 23, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.261, Rules used = {3664, 471, 527, 522, 207, 208} \[ -\frac{b \text{sech}(c+d x)}{a^2 d \left (a-b \text{sech}^2(c+d x)+b\right )}+\frac{(a+4 b) \tanh ^{-1}(\cosh (c+d x))}{2 a^3 d}-\frac{\sqrt{b} (3 a+4 b) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \text{sech}(c+d x)}{\sqrt{a+b}}\right )}{2 a^3 d \sqrt{a+b}}-\frac{\coth (c+d x) \text{csch}(c+d x)}{2 a d \left (a-b \text{sech}^2(c+d x)+b\right )} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Csch[c + d*x]^3/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2,x]

[Out]

((a + 4*b)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*a^3*d) - (Sqrt[b]*(3*a + 4*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sech[c + d*x])/Sqrt[a + b
]])/(2*a^3*Sqrt[a + b]*d) - (Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*a*d*(a + b - b*Sech[c + d*x]^2)) - (b*Sech[c + d*
x])/(a^2*d*(a + b - b*Sech[c + d*x]^2))

Rule 3664

Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = Free
Factors[Sec[e + f*x], x]}, Dist[1/(f*ff^m), Subst[Int[((-1 + ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a - b + b*ff^2*x^2)^p)/x^(
m + 1), x], x, Sec[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2]

Rule 471

Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(e^(n -
1)*(e*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q + 1))/(n*(b*c - a*d)*(p + 1)), x] - Dist[e^n/(n*(b*c -
a*d)*(p + 1)), Int[(e*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[c*(m - n + 1) + d*(m + n*(p + q + 1)
+ 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GeQ[n
, m - n + 1] && GtQ[m - n + 1, 0] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

Rule 527

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> -Simp[
((b*e - a*f)*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q + 1))/(a*n*(b*c - a*d)*(p + 1)), x] + Dist[1/(a*n*(b*c - a*d
)*(p + 1)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[c*(b*e - a*f) + e*n*(b*c - a*d)*(p + 1) + d*(b*e - a*f)
*(n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, q}, x] && LtQ[p, -1]

Rule 522

Int[((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))), x_Symbol] :> Dist[(b*e - a*f
)/(b*c - a*d), Int[1/(a + b*x^n), x], x] - Dist[(d*e - c*f)/(b*c - a*d), Int[1/(c + d*x^n), x], x] /; FreeQ[{a
, b, c, d, e, f, n}, x]

Rule 207

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> -Simp[ArcTanh[(Rt[b, 2]*x)/Rt[-a, 2]]/(Rt[-a, 2]*Rt[b, 2]), x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (LtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\text{csch}^3(c+d x)}{\left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^2} \, dx &=-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^2}{\left (-1+x^2\right )^2 \left (a+b-b x^2\right )^2} \, dx,x,\text{sech}(c+d x)\right )}{d}\\ &=-\frac{\coth (c+d x) \text{csch}(c+d x)}{2 a d \left (a+b-b \text{sech}^2(c+d x)\right )}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{a+b+3 b x^2}{\left (-1+x^2\right ) \left (a+b-b x^2\right )^2} \, dx,x,\text{sech}(c+d x)\right )}{2 a d}\\ &=-\frac{\coth (c+d x) \text{csch}(c+d x)}{2 a d \left (a+b-b \text{sech}^2(c+d x)\right )}-\frac{b \text{sech}(c+d x)}{a^2 d \left (a+b-b \text{sech}^2(c+d x)\right )}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{2 (a+b) (a+2 b)+4 b (a+b) x^2}{\left (-1+x^2\right ) \left (a+b-b x^2\right )} \, dx,x,\text{sech}(c+d x)\right )}{4 a^2 (a+b) d}\\ &=-\frac{\coth (c+d x) \text{csch}(c+d x)}{2 a d \left (a+b-b \text{sech}^2(c+d x)\right )}-\frac{b \text{sech}(c+d x)}{a^2 d \left (a+b-b \text{sech}^2(c+d x)\right )}-\frac{(a+4 b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-1+x^2} \, dx,x,\text{sech}(c+d x)\right )}{2 a^3 d}-\frac{(b (3 a+4 b)) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{a+b-b x^2} \, dx,x,\text{sech}(c+d x)\right )}{2 a^3 d}\\ &=\frac{(a+4 b) \tanh ^{-1}(\cosh (c+d x))}{2 a^3 d}-\frac{\sqrt{b} (3 a+4 b) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \text{sech}(c+d x)}{\sqrt{a+b}}\right )}{2 a^3 \sqrt{a+b} d}-\frac{\coth (c+d x) \text{csch}(c+d x)}{2 a d \left (a+b-b \text{sech}^2(c+d x)\right )}-\frac{b \text{sech}(c+d x)}{a^2 d \left (a+b-b \text{sech}^2(c+d x)\right )}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 4.08918, size = 203, normalized size = 1.44 \[ -\frac{\frac{8 a b \cosh (c+d x)}{(a+b) \cosh (2 (c+d x))+a-b}+4 (a+4 b) \log \left (\tanh \left (\frac{1}{2} (c+d x)\right )\right )+\frac{4 i \sqrt{b} (3 a+4 b) \tan ^{-1}\left (\frac{-\sqrt{a} \tanh \left (\frac{1}{2} (c+d x)\right )-i \sqrt{a+b}}{\sqrt{b}}\right )}{\sqrt{a+b}}+\frac{4 i \sqrt{b} (3 a+4 b) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \tanh \left (\frac{1}{2} (c+d x)\right )-i \sqrt{a+b}}{\sqrt{b}}\right )}{\sqrt{a+b}}+a \text{csch}^2\left (\frac{1}{2} (c+d x)\right )+a \text{sech}^2\left (\frac{1}{2} (c+d x)\right )}{8 a^3 d} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Csch[c + d*x]^3/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2,x]

[Out]

-(((4*I)*Sqrt[b]*(3*a + 4*b)*ArcTan[((-I)*Sqrt[a + b] - Sqrt[a]*Tanh[(c + d*x)/2])/Sqrt[b]])/Sqrt[a + b] + ((4
*I)*Sqrt[b]*(3*a + 4*b)*ArcTan[((-I)*Sqrt[a + b] + Sqrt[a]*Tanh[(c + d*x)/2])/Sqrt[b]])/Sqrt[a + b] + (8*a*b*C
osh[c + d*x])/(a - b + (a + b)*Cosh[2*(c + d*x)]) + a*Csch[(c + d*x)/2]^2 + 4*(a + 4*b)*Log[Tanh[(c + d*x)/2]]
+ a*Sech[(c + d*x)/2]^2)/(8*a^3*d)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.108, size = 367, normalized size = 2.6 \begin{align*}{\frac{1}{8\,d{a}^{2}} \left ( \tanh \left ({\frac{dx}{2}}+{\frac{c}{2}} \right ) \right ) ^{2}}-{\frac{b}{d{a}^{2}} \left ( \tanh \left ({\frac{dx}{2}}+{\frac{c}{2}} \right ) \right ) ^{2} \left ( \left ( \tanh \left ({\frac{dx}{2}}+{\frac{c}{2}} \right ) \right ) ^{4}a+2\, \left ( \tanh \left ( 1/2\,dx+c/2 \right ) \right ) ^{2}a+4\, \left ( \tanh \left ( 1/2\,dx+c/2 \right ) \right ) ^{2}b+a \right ) ^{-1}}-2\,{\frac{{b}^{2} \left ( \tanh \left ( 1/2\,dx+c/2 \right ) \right ) ^{2}}{d{a}^{3} \left ( \left ( \tanh \left ( 1/2\,dx+c/2 \right ) \right ) ^{4}a+2\, \left ( \tanh \left ( 1/2\,dx+c/2 \right ) \right ) ^{2}a+4\, \left ( \tanh \left ( 1/2\,dx+c/2 \right ) \right ) ^{2}b+a \right ) }}-{\frac{b}{d{a}^{2}} \left ( \left ( \tanh \left ({\frac{dx}{2}}+{\frac{c}{2}} \right ) \right ) ^{4}a+2\, \left ( \tanh \left ( 1/2\,dx+c/2 \right ) \right ) ^{2}a+4\, \left ( \tanh \left ( 1/2\,dx+c/2 \right ) \right ) ^{2}b+a \right ) ^{-1}}-{\frac{3\,b}{2\,d{a}^{2}}{\it Artanh} \left ({\frac{1}{4} \left ( 2\, \left ( \tanh \left ( 1/2\,dx+c/2 \right ) \right ) ^{2}a+2\,a+4\,b \right ){\frac{1}{\sqrt{ab+{b}^{2}}}}} \right ){\frac{1}{\sqrt{ab+{b}^{2}}}}}-2\,{\frac{{b}^{2}}{d{a}^{3}\sqrt{ab+{b}^{2}}}{\it Artanh} \left ( 1/4\,{\frac{2\, \left ( \tanh \left ( 1/2\,dx+c/2 \right ) \right ) ^{2}a+2\,a+4\,b}{\sqrt{ab+{b}^{2}}}} \right ) }-{\frac{1}{8\,d{a}^{2}} \left ( \tanh \left ({\frac{dx}{2}}+{\frac{c}{2}} \right ) \right ) ^{-2}}-{\frac{1}{2\,d{a}^{2}}\ln \left ( \tanh \left ({\frac{dx}{2}}+{\frac{c}{2}} \right ) \right ) }-2\,{\frac{\ln \left ( \tanh \left ( 1/2\,dx+c/2 \right ) \right ) b}{d{a}^{3}}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(csch(d*x+c)^3/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^2,x)

[Out]

1/8/d*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2/a^2-1/d/a^2*b/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/
2*c)^2*b+a)*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2-2/d/a^3*b^2/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*
x+1/2*c)^2*b+a)*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2-1/d/a^2*b/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*
d*x+1/2*c)^2*b+a)-3/2/d/a^2*b/(a*b+b^2)^(1/2)*arctanh(1/4*(2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+2*a+4*b)/(a*b+b^2)^(1/2))
-2/d/a^3*b^2/(a*b+b^2)^(1/2)*arctanh(1/4*(2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+2*a+4*b)/(a*b+b^2)^(1/2))-1/8/d/a^2/tanh(1
/2*d*x+1/2*c)^2-1/2/d/a^2*ln(tanh(1/2*d*x+1/2*c))-2/d/a^3*ln(tanh(1/2*d*x+1/2*c))*b

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \frac{{\left (a e^{\left (7 \, c\right )} + 2 \, b e^{\left (7 \, c\right )}\right )} e^{\left (7 \, d x\right )} +{\left (3 \, a e^{\left (5 \, c\right )} - 2 \, b e^{\left (5 \, c\right )}\right )} e^{\left (5 \, d x\right )} +{\left (3 \, a e^{\left (3 \, c\right )} - 2 \, b e^{\left (3 \, c\right )}\right )} e^{\left (3 \, d x\right )} +{\left (a e^{c} + 2 \, b e^{c}\right )} e^{\left (d x\right )}}{4 \, a^{2} b d e^{\left (6 \, d x + 6 \, c\right )} + 4 \, a^{2} b d e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )} - a^{3} d - a^{2} b d -{\left (a^{3} d e^{\left (8 \, c\right )} + a^{2} b d e^{\left (8 \, c\right )}\right )} e^{\left (8 \, d x\right )} + 2 \,{\left (a^{3} d e^{\left (4 \, c\right )} - 3 \, a^{2} b d e^{\left (4 \, c\right )}\right )} e^{\left (4 \, d x\right )}} + \frac{{\left (a + 4 \, b\right )} \log \left ({\left (e^{\left (d x + c\right )} + 1\right )} e^{\left (-c\right )}\right )}{2 \, a^{3} d} - \frac{{\left (a + 4 \, b\right )} \log \left ({\left (e^{\left (d x + c\right )} - 1\right )} e^{\left (-c\right )}\right )}{2 \, a^{3} d} + 8 \, \int \frac{{\left (3 \, a b e^{\left (3 \, c\right )} + 4 \, b^{2} e^{\left (3 \, c\right )}\right )} e^{\left (3 \, d x\right )} -{\left (3 \, a b e^{c} + 4 \, b^{2} e^{c}\right )} e^{\left (d x\right )}}{8 \,{\left (a^{4} + a^{3} b +{\left (a^{4} e^{\left (4 \, c\right )} + a^{3} b e^{\left (4 \, c\right )}\right )} e^{\left (4 \, d x\right )} + 2 \,{\left (a^{4} e^{\left (2 \, c\right )} - a^{3} b e^{\left (2 \, c\right )}\right )} e^{\left (2 \, d x\right )}\right )}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(d*x+c)^3/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

((a*e^(7*c) + 2*b*e^(7*c))*e^(7*d*x) + (3*a*e^(5*c) - 2*b*e^(5*c))*e^(5*d*x) + (3*a*e^(3*c) - 2*b*e^(3*c))*e^(
3*d*x) + (a*e^c + 2*b*e^c)*e^(d*x))/(4*a^2*b*d*e^(6*d*x + 6*c) + 4*a^2*b*d*e^(2*d*x + 2*c) - a^3*d - a^2*b*d -
(a^3*d*e^(8*c) + a^2*b*d*e^(8*c))*e^(8*d*x) + 2*(a^3*d*e^(4*c) - 3*a^2*b*d*e^(4*c))*e^(4*d*x)) + 1/2*(a + 4*b
)*log((e^(d*x + c) + 1)*e^(-c))/(a^3*d) - 1/2*(a + 4*b)*log((e^(d*x + c) - 1)*e^(-c))/(a^3*d) + 8*integrate(1/
8*((3*a*b*e^(3*c) + 4*b^2*e^(3*c))*e^(3*d*x) - (3*a*b*e^c + 4*b^2*e^c)*e^(d*x))/(a^4 + a^3*b + (a^4*e^(4*c) +
a^3*b*e^(4*c))*e^(4*d*x) + 2*(a^4*e^(2*c) - a^3*b*e^(2*c))*e^(2*d*x)), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 3.30417, size = 15776, normalized size = 111.89 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(d*x+c)^3/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*(4*(a^2 + 2*a*b)*cosh(d*x + c)^7 + 28*(a^2 + 2*a*b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^6 + 4*(a^2 + 2*a*b)*sinh(
d*x + c)^7 + 4*(3*a^2 - 2*a*b)*cosh(d*x + c)^5 + 4*(21*(a^2 + 2*a*b)*cosh(d*x + c)^2 + 3*a^2 - 2*a*b)*sinh(d*x
+ c)^5 + 20*(7*(a^2 + 2*a*b)*cosh(d*x + c)^3 + (3*a^2 - 2*a*b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^4 + 4*(3*a^2 - 2*
a*b)*cosh(d*x + c)^3 + 4*(35*(a^2 + 2*a*b)*cosh(d*x + c)^4 + 10*(3*a^2 - 2*a*b)*cosh(d*x + c)^2 + 3*a^2 - 2*a*
b)*sinh(d*x + c)^3 + 4*(21*(a^2 + 2*a*b)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(3*a^2 - 2*a*b)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(3*a^2 - 2*a
*b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^2 - ((3*a^2 + 7*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^8 + 8*(3*a^2 + 7*a*b + 4*b^2)*cosh
(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (3*a^2 + 7*a*b + 4*b^2)*sinh(d*x + c)^8 - 4*(3*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 4*(7
*(3*a^2 + 7*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^2 - 3*a*b - 4*b^2)*sinh(d*x + c)^6 + 8*(7*(3*a^2 + 7*a*b + 4*b^2)*cosh(
d*x + c)^3 - 3*(3*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 - 2*(3*a^2 - 5*a*b - 12*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 2
*(35*(3*a^2 + 7*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^4 - 30*(3*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^2 - 3*a^2 + 5*a*b + 12*b^2)*si
nh(d*x + c)^4 + 8*(7*(3*a^2 + 7*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^5 - 10*(3*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^3 - (3*a^2 - 5
*a*b - 12*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 - 4*(3*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 4*(7*(3*a^2 + 7*a*b + 4*b^
2)*cosh(d*x + c)^6 - 15*(3*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^4 - 3*(3*a^2 - 5*a*b - 12*b^2)*cosh(d*x + c)^2 - 3*a*b -
4*b^2)*sinh(d*x + c)^2 + 3*a^2 + 7*a*b + 4*b^2 + 8*((3*a^2 + 7*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^7 - 3*(3*a*b + 4*b^
2)*cosh(d*x + c)^5 - (3*a^2 - 5*a*b - 12*b^2)*cosh(d*x + c)^3 - (3*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))*
sqrt(b/(a + b))*log(((a + b)*cosh(d*x + c)^4 + 4*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3 + (a + b)*sinh(d*x + c)
^4 + 2*(a + 3*b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(d*x + c)^2 + a + 3*b)*sinh(d*x + c)^2 + 4*((a + b)*cosh(d
*x + c)^3 + (a + 3*b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) - 4*((a + b)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh
(d*x + c)^2 + (a + b)*sinh(d*x + c)^3 + (a + b)*cosh(d*x + c) + (3*(a + b)*cosh(d*x + c)^2 + a + b)*sinh(d*x +
c))*sqrt(b/(a + b)) + a + b)/((a + b)*cosh(d*x + c)^4 + 4*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3 + (a + b)*sin
h(d*x + c)^4 + 2*(a - b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(d*x + c)^2 + a - b)*sinh(d*x + c)^2 + 4*((a + b)*
cosh(d*x + c)^3 + (a - b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) + a + b)) + 4*(a^2 + 2*a*b)*cosh(d*x + c) - 2*((a^2 + 5
*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^8 + 8*(a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*
sinh(d*x + c)^8 - 4*(a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 4*(7*(a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^2 - a*b - 4*b^2)*
sinh(d*x + c)^6 + 8*(7*(a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^3 - 3*(a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5
- 2*(a^2 + a*b - 12*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 2*(35*(a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^4 - 30*(a*b + 4*b^2)*cosh
(d*x + c)^2 - a^2 - a*b + 12*b^2)*sinh(d*x + c)^4 + 8*(7*(a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^5 - 10*(a*b + 4*b
^2)*cosh(d*x + c)^3 - (a^2 + a*b - 12*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 - 4*(a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^2 +
4*(7*(a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^6 - 15*(a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^4 - 3*(a^2 + a*b - 12*b^2)*cosh(d*
x + c)^2 - a*b - 4*b^2)*sinh(d*x + c)^2 + a^2 + 5*a*b + 4*b^2 + 8*((a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^7 - 3*(
a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^5 - (a^2 + a*b - 12*b^2)*cosh(d*x + c)^3 - (a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x +
c))*log(cosh(d*x + c) + sinh(d*x + c) + 1) + 2*((a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^8 + 8*(a^2 + 5*a*b + 4*b^2
)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*sinh(d*x + c)^8 - 4*(a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 4*
(7*(a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^2 - a*b - 4*b^2)*sinh(d*x + c)^6 + 8*(7*(a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x
+ c)^3 - 3*(a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 - 2*(a^2 + a*b - 12*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 2*(35*(a^2
+ 5*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^4 - 30*(a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^2 - a^2 - a*b + 12*b^2)*sinh(d*x + c)^4 + 8*
(7*(a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^5 - 10*(a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^3 - (a^2 + a*b - 12*b^2)*cosh(d*x +
c))*sinh(d*x + c)^3 - 4*(a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 4*(7*(a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^6 - 15*(a*b +
4*b^2)*cosh(d*x + c)^4 - 3*(a^2 + a*b - 12*b^2)*cosh(d*x + c)^2 - a*b - 4*b^2)*sinh(d*x + c)^2 + a^2 + 5*a*b
+ 4*b^2 + 8*((a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^7 - 3*(a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^5 - (a^2 + a*b - 12*b^2)*co
sh(d*x + c)^3 - (a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))*log(cosh(d*x + c) + sinh(d*x + c) - 1) + 4*(7*(a^2
+ 2*a*b)*cosh(d*x + c)^6 + 5*(3*a^2 - 2*a*b)*cosh(d*x + c)^4 + 3*(3*a^2 - 2*a*b)*cosh(d*x + c)^2 + a^2 + 2*a*
b)*sinh(d*x + c))/(4*a^3*b*d*cosh(d*x + c)^6 - (a^4 + a^3*b)*d*cosh(d*x + c)^8 - 8*(a^4 + a^3*b)*d*cosh(d*x +
c)*sinh(d*x + c)^7 - (a^4 + a^3*b)*d*sinh(d*x + c)^8 + 4*a^3*b*d*cosh(d*x + c)^2 + 4*(a^3*b*d - 7*(a^4 + a^3*b
)*d*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^6 + 2*(a^4 - 3*a^3*b)*d*cosh(d*x + c)^4 + 8*(3*a^3*b*d*cosh(d*x + c) - 7*(a
^4 + a^3*b)*d*cosh(d*x + c)^3)*sinh(d*x + c)^5 + 2*(30*a^3*b*d*cosh(d*x + c)^2 - 35*(a^4 + a^3*b)*d*cosh(d*x +
c)^4 + (a^4 - 3*a^3*b)*d)*sinh(d*x + c)^4 + 8*(10*a^3*b*d*cosh(d*x + c)^3 - 7*(a^4 + a^3*b)*d*cosh(d*x + c)^5
+ (a^4 - 3*a^3*b)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(15*a^3*b*d*cosh(d*x + c)^4 - 7*(a^4 + a^3*b)*d*cosh(d
*x + c)^6 + a^3*b*d + 3*(a^4 - 3*a^3*b)*d*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^2 - (a^4 + a^3*b)*d + 8*(3*a^3*b*d*co
sh(d*x + c)^5 - (a^4 + a^3*b)*d*cosh(d*x + c)^7 + a^3*b*d*cosh(d*x + c) + (a^4 - 3*a^3*b)*d*cosh(d*x + c)^3)*s
inh(d*x + c)), 1/2*(2*(a^2 + 2*a*b)*cosh(d*x + c)^7 + 14*(a^2 + 2*a*b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^6 + 2*(a^2
+ 2*a*b)*sinh(d*x + c)^7 + 2*(3*a^2 - 2*a*b)*cosh(d*x + c)^5 + 2*(21*(a^2 + 2*a*b)*cosh(d*x + c)^2 + 3*a^2 - 2
*a*b)*sinh(d*x + c)^5 + 10*(7*(a^2 + 2*a*b)*cosh(d*x + c)^3 + (3*a^2 - 2*a*b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^4 +
2*(3*a^2 - 2*a*b)*cosh(d*x + c)^3 + 2*(35*(a^2 + 2*a*b)*cosh(d*x + c)^4 + 10*(3*a^2 - 2*a*b)*cosh(d*x + c)^2
+ 3*a^2 - 2*a*b)*sinh(d*x + c)^3 + 2*(21*(a^2 + 2*a*b)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(3*a^2 - 2*a*b)*cosh(d*x + c)^3 +
3*(3*a^2 - 2*a*b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^2 + ((3*a^2 + 7*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^8 + 8*(3*a^2 + 7*a*b
+ 4*b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (3*a^2 + 7*a*b + 4*b^2)*sinh(d*x + c)^8 - 4*(3*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x
+ c)^6 + 4*(7*(3*a^2 + 7*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^2 - 3*a*b - 4*b^2)*sinh(d*x + c)^6 + 8*(7*(3*a^2 + 7*a*b
+ 4*b^2)*cosh(d*x + c)^3 - 3*(3*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 - 2*(3*a^2 - 5*a*b - 12*b^2)*cosh(
d*x + c)^4 + 2*(35*(3*a^2 + 7*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^4 - 30*(3*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^2 - 3*a^2 + 5*a*
b + 12*b^2)*sinh(d*x + c)^4 + 8*(7*(3*a^2 + 7*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^5 - 10*(3*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^
3 - (3*a^2 - 5*a*b - 12*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 - 4*(3*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 4*(7*(3*a^2
+ 7*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^6 - 15*(3*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^4 - 3*(3*a^2 - 5*a*b - 12*b^2)*cosh(d*x +
c)^2 - 3*a*b - 4*b^2)*sinh(d*x + c)^2 + 3*a^2 + 7*a*b + 4*b^2 + 8*((3*a^2 + 7*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^7 - 3
*(3*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^5 - (3*a^2 - 5*a*b - 12*b^2)*cosh(d*x + c)^3 - (3*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c))*s
inh(d*x + c))*sqrt(-b/(a + b))*arctan(1/2*((a + b)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^2 +
(a + b)*sinh(d*x + c)^3 + (a - 3*b)*cosh(d*x + c) + (3*(a + b)*cosh(d*x + c)^2 + a - 3*b)*sinh(d*x + c))*sqrt
(-b/(a + b))/b) - ((3*a^2 + 7*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^8 + 8*(3*a^2 + 7*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x
+ c)^7 + (3*a^2 + 7*a*b + 4*b^2)*sinh(d*x + c)^8 - 4*(3*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 4*(7*(3*a^2 + 7*a*b + 4
*b^2)*cosh(d*x + c)^2 - 3*a*b - 4*b^2)*sinh(d*x + c)^6 + 8*(7*(3*a^2 + 7*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^3 - 3*(3*a
*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 - 2*(3*a^2 - 5*a*b - 12*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 2*(35*(3*a^2 + 7*a*b
+ 4*b^2)*cosh(d*x + c)^4 - 30*(3*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^2 - 3*a^2 + 5*a*b + 12*b^2)*sinh(d*x + c)^4 + 8*(
7*(3*a^2 + 7*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^5 - 10*(3*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^3 - (3*a^2 - 5*a*b - 12*b^2)*cosh
(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 - 4*(3*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 4*(7*(3*a^2 + 7*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^6
- 15*(3*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^4 - 3*(3*a^2 - 5*a*b - 12*b^2)*cosh(d*x + c)^2 - 3*a*b - 4*b^2)*sinh(d*x +
c)^2 + 3*a^2 + 7*a*b + 4*b^2 + 8*((3*a^2 + 7*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^7 - 3*(3*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^5
- (3*a^2 - 5*a*b - 12*b^2)*cosh(d*x + c)^3 - (3*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))*sqrt(-b/(a + b))*ar
ctan(1/2*((a + b)*cosh(d*x + c) + (a + b)*sinh(d*x + c))*sqrt(-b/(a + b))/b) + 2*(a^2 + 2*a*b)*cosh(d*x + c) -
((a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^8 + 8*(a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (a^2 + 5*a*b
+ 4*b^2)*sinh(d*x + c)^8 - 4*(a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 4*(7*(a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^2 - a*b
- 4*b^2)*sinh(d*x + c)^6 + 8*(7*(a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^3 - 3*(a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d
*x + c)^5 - 2*(a^2 + a*b - 12*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 2*(35*(a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^4 - 30*(a*b + 4
*b^2)*cosh(d*x + c)^2 - a^2 - a*b + 12*b^2)*sinh(d*x + c)^4 + 8*(7*(a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^5 - 10*
(a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^3 - (a^2 + a*b - 12*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 - 4*(a*b + 4*b^2)*cosh(d*x
+ c)^2 + 4*(7*(a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^6 - 15*(a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^4 - 3*(a^2 + a*b - 12*b^
2)*cosh(d*x + c)^2 - a*b - 4*b^2)*sinh(d*x + c)^2 + a^2 + 5*a*b + 4*b^2 + 8*((a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x +
c)^7 - 3*(a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^5 - (a^2 + a*b - 12*b^2)*cosh(d*x + c)^3 - (a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c))*s
inh(d*x + c))*log(cosh(d*x + c) + sinh(d*x + c) + 1) + ((a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^8 + 8*(a^2 + 5*a*b
+ 4*b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*sinh(d*x + c)^8 - 4*(a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c
)^6 + 4*(7*(a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^2 - a*b - 4*b^2)*sinh(d*x + c)^6 + 8*(7*(a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*c
osh(d*x + c)^3 - 3*(a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 - 2*(a^2 + a*b - 12*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 2*(
35*(a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^4 - 30*(a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^2 - a^2 - a*b + 12*b^2)*sinh(d*x + c
)^4 + 8*(7*(a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^5 - 10*(a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^3 - (a^2 + a*b - 12*b^2)*cos
h(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 - 4*(a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 4*(7*(a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^6 - 1
5*(a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^4 - 3*(a^2 + a*b - 12*b^2)*cosh(d*x + c)^2 - a*b - 4*b^2)*sinh(d*x + c)^2 + a^2
+ 5*a*b + 4*b^2 + 8*((a^2 + 5*a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^7 - 3*(a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c)^5 - (a^2 + a*b - 12
*b^2)*cosh(d*x + c)^3 - (a*b + 4*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))*log(cosh(d*x + c) + sinh(d*x + c) - 1) + 2
*(7*(a^2 + 2*a*b)*cosh(d*x + c)^6 + 5*(3*a^2 - 2*a*b)*cosh(d*x + c)^4 + 3*(3*a^2 - 2*a*b)*cosh(d*x + c)^2 + a^
2 + 2*a*b)*sinh(d*x + c))/(4*a^3*b*d*cosh(d*x + c)^6 - (a^4 + a^3*b)*d*cosh(d*x + c)^8 - 8*(a^4 + a^3*b)*d*cos
h(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 - (a^4 + a^3*b)*d*sinh(d*x + c)^8 + 4*a^3*b*d*cosh(d*x + c)^2 + 4*(a^3*b*d - 7*(a^4
+ a^3*b)*d*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^6 + 2*(a^4 - 3*a^3*b)*d*cosh(d*x + c)^4 + 8*(3*a^3*b*d*cosh(d*x + c
) - 7*(a^4 + a^3*b)*d*cosh(d*x + c)^3)*sinh(d*x + c)^5 + 2*(30*a^3*b*d*cosh(d*x + c)^2 - 35*(a^4 + a^3*b)*d*co
sh(d*x + c)^4 + (a^4 - 3*a^3*b)*d)*sinh(d*x + c)^4 + 8*(10*a^3*b*d*cosh(d*x + c)^3 - 7*(a^4 + a^3*b)*d*cosh(d*
x + c)^5 + (a^4 - 3*a^3*b)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(15*a^3*b*d*cosh(d*x + c)^4 - 7*(a^4 + a^3*b)*
d*cosh(d*x + c)^6 + a^3*b*d + 3*(a^4 - 3*a^3*b)*d*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^2 - (a^4 + a^3*b)*d + 8*(3*a^
3*b*d*cosh(d*x + c)^5 - (a^4 + a^3*b)*d*cosh(d*x + c)^7 + a^3*b*d*cosh(d*x + c) + (a^4 - 3*a^3*b)*d*cosh(d*x +
c)^3)*sinh(d*x + c))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\operatorname{csch}^{3}{\left (c + d x \right )}}{\left (a + b \tanh ^{2}{\left (c + d x \right )}\right )^{2}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(d*x+c)**3/(a+b*tanh(d*x+c)**2)**2,x)

[Out]

Integral(csch(c + d*x)**3/(a + b*tanh(c + d*x)**2)**2, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [C]  time = 1.97318, size = 5650, normalized size = 40.07 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(d*x+c)^3/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

1/8*(2*(3*(3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag
_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (3*a^5*b + 7*a^4
*b^2 + 4*a^3*b^3)*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) +
b/(a + b))))^3 - 9*(3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh
(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*
imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/
(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a
+ b) + b/(a + b)))) + 9*(3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2
*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1
/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cosh(1/2*imag_part(arcco
s(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/
(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)
)))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3
+ (3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(a
rccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - (3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b
/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + (3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*sin(1/2*rea
l_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*arctan((((a^4 + a
^3*b)/(a^4*e^(4*c) + a^3*b*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b))) + e^(d*x))/(((a^4 + a^3*b)/(a^4*e
^(4*c) + a^3*b*e^(4*c)))^(1/4)*sin(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b)))))/(2*a^7*b - (a^4 - a^3*b)*sqrt(-a*b)*a^2*abs
(a)) + 2*(3*(3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*im
ag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (3*a^5*b + 7*a
^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b)
+ b/(a + b))))^3 - 9*(3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*co
sh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/
2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cosh(1/2*imag_part(arccos(-
a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(
a + b) + b/(a + b)))) + 9*(3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))
^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh
(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cosh(1/2*imag_part(arc
cos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-
a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a +
b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))
^3 + (3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part
(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - (3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) +
b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + (3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*sin(1/2*r
eal_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*arctan(-(((a^4
+ a^3*b)/(a^4*e^(4*c) + a^3*b*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b))) - e^(d*x))/(((a^4 + a^3*b)/(a^
4*e^(4*c) + a^3*b*e^(4*c)))^(1/4)*sin(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b)))))/(2*a^7*b - (a^4 - a^3*b)*sqrt(-a*b)*a^2*
abs(a)) + ((3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*ima
g_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - 3*(3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a
+ b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b)
+ b/(a + b))))^2 - 3*(3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*c
osh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 9*(
3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(
-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/
(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))
)^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2
- 9*(3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(ar
ccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(
-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - (3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b
))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + 3*(3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cos(1/2*rea
l_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_par
t(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - (3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) +
b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + (3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cos(1/2*
real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*log(2*((a^4 +
a^3*b)/(a^4*e^(4*c) + a^3*b*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b)))*e^(d*x) + sqrt((a^4 + a^3*b)/(a^
4*e^(4*c) + a^3*b*e^(4*c))) + e^(2*d*x))/(2*a^7*b - (a^4 - a^3*b)*sqrt(-a*b)*a^2*abs(a)) - ((3*a^5*b + 7*a^4*b
^2 + 4*a^3*b^3)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/
(a + b))))^3 - 3*(3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2
*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(3*a^5*
b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(
a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 9*(3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b
^3)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*s
in(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(3
*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos
(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 9*(3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*
a^3*b^3)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))
)*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 -
(3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arc
cos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + 3*(3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/
(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a +
b))))^3 - (3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_p
art(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + (3*a^5*b + 7*a^4*b^2 + 4*a^3*b^3)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) +
b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*log(-2*((a^4 + a^3*b)/(a^4*e^(4*c) + a^3*b*
e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b)))*e^(d*x) + sqrt((a^4 + a^3*b)/(a^4*e^(4*c) + a^3*b*e^(4*c)))
+ e^(2*d*x))/(2*a^7*b - (a^4 - a^3*b)*sqrt(-a*b)*a^2*abs(a)) + 4*(a*e^c + 4*b*e^c)*e^(-c)*log(e^(d*x + c) + 1)
/a^3 - 4*(a*e^c + 4*b*e^c)*e^(-c)*log(abs(e^(d*x + c) - 1))/a^3 - 8*(b*e^(3*d*x + 3*c) + b*e^(d*x + c))/((a*e^
(4*d*x + 4*c) + b*e^(4*d*x + 4*c) + 2*a*e^(2*d*x + 2*c) - 2*b*e^(2*d*x + 2*c) + a + b)*a^2) - 8*(e^(3*d*x + 3*
c) + e^(d*x + c))/(a^2*(e^(2*d*x + 2*c) - 1)^2))/d